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固体物理 - 第三章：晶体结构 赵纪军、蒋雪、陈仲佳等 华南师范大学 物理学院 目录 晶体结构与平移对称性 七大晶系与十四种布拉伐格子 原胞与Wigner-Seitz原胞 晶体学空间群 常见晶体结构 本章总结 晶体结构与平移对称性 晶格定义 周期性阵列：原子在空间按几何规律排布的无限延伸结构 平移对称性：晶格在离散平移下保持不变r′=r+u1a1+u2a2+u3a3(ui∈Z)\mathbf{r}' = \mathbf{r} + u_1\mathbf{a}_1 + u_2\mathbf{a}_2 + u_3\mathbf{a}_3 \quad (u_i \in \mathbb{Z}) r′=r+u1a1+u2a2+u3a3(ui∈Z) 基元：位于晶格格点上的原子/原子组 晶体结构 = 晶格 + 基元 图：NaCl晶体二维晶格示意图（红蓝点表示Na/Cl原子） 晶胞（Unit Cell） 定义：最小重复单元，填满空间无间隙 参数： 边长：a,b,ca, b, ca,b,c 夹角：α,β,γ\alpha, \beta,...
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固体物理学 - 第二章：晶体的键合 目录 原子论与周期表 元素周期律与电负性 固体键合的一般性概念 范德瓦尔斯力 离子键 共价键 金属键 氢键与分子晶体 本章总结 原子论与周期表 原子论的核心思想 “倘若在某种大灾难中，所有科学知识均遭毁灭，且仅能将一句话传递给下一代生物，那么这句话应是原子论：一切事物皆由原子构成——微小粒子处于永恒运动之中，彼此稍有距离时相互吸引，但相互挤压时则相互排斥。” ——理查德·费曼，《费曼物理学讲义》 元素周期表演变 古代元素观（约2400年前） 1776年元素周期表 门捷列夫周期表（1869年）： 首次系统性排列元素 成功预测未知元素性质 现代周期表： 按原子序数排列 同族元素化学性质相似 图：门捷列夫第一张周期表(1869) 原子壳层结构 电子排布：量子力学描述 主量子数 n（能级） 角量子数 l（轨道形状：s,p,d,f） 磁量子数 mₗ（空间取向） 自旋量子数...
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9. 非理想气体的集团展开理论 9.1 集团展开基础 基本思想 对于短程相互作用势 V(r⃗)V(\vec{r})V(r)，定义： f(r⃗)=e−βV(r⃗)−1f(\vec{r}) = e^{-\beta V(\vec{r})} - 1 f(r)=e−βV(r)−1 优于直接展开 V(r⃗)V(\vec{r})V(r)，因为当 ∣f∣≪1|f| \ll 1∣f∣≪1 时级数收敛性更好 位形积分 SN=∫∏i=1Nd3ri∏i<j(1+fij)S_N = \int \prod_{i=1}^N d^3 r_i \prod_{i<j} (1 + f_{ij}) SN=∫i=1∏Nd3rii<j∏(1+fij) 其中 fij≡f(r⃗i−r⃗j)f_{ij} \equiv f(\vec{r}_i - \vec{r}_j)fij≡f(ri−rj) 9.2 巨正则系综处理 巨配分函数 Z=∑N=0∞1N!(eβμλ3)NSN\mathcal{Z} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \left(...
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8. 热力学响应函数与数学关系 8.1 热响应函数 基本定义 热膨胀系数： αp=1V(∂V∂T)p\alpha_p = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_p αp=V1(∂T∂V)p 理想气体：αp=1T\alpha_p = \frac{1}{T}αp=T1 等温压缩率： κT=−1V(∂V∂P)T\kappa_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T κT=−V1(∂P∂V)T 理想气体：κT=1P\kappa_T = \frac{1}{P}κT=P1 热容关系： Cp−Cv=TVαp2κT=NkBC_p - C_v = TV \frac{\alpha_p^2}{\kappa_T} = N k_B Cp−Cv=TVκTαp2=NkB 其中 kB≈1.4×10−23 J/Kk_B \approx 1.4 \times...
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7. 量子统计与热力学基础 7.1 玻色-爱因斯坦凝聚（BEC） 凝聚条件 当 T<TcT < T_cT<Tc 且 n>n∗n > n^*n>n∗ 时： n0=n−n∗=n−gλ3ζ(3/2)n_0 = n - n^* = n - \frac{g}{\lambda^3} \zeta(3/2) n0=n−n∗=n−λ3gζ(3/2) 其中 n0n_0n0 是基态占据数，满足： 宏观数量粒子占据 k=0k=0k=0 的基态 产生玻色-爱因斯坦凝聚现象 压强特性 P=gλ3kBTf5/2+(1)(T<Tc)P = \frac{g}{\lambda^3} k_B T f_{5/2}^+(1) \quad (T < T_c) P=λ3gkBTf5/2+(1)(T<Tc) 关键性质：压强 PPP 与密度 nnn 无关，仅取决于温度 TTT 物理机制 基态粒子 (k=0k=0k=0) 动量为零，对压强无贡献 只有激发态粒子 (k≠0k \neq 0k=0) 贡献压强 激发态粒子密度上限 n∗n^*n∗...
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6. 量子简并气体理论 6.1 巨正则系综的量子统计 粒子数密度 ng=gV∑k⟨nk⟩=g∫d3k(2π)31z−1eβε(k)−yn_g = \frac{g}{V} \sum_k \langle n_k \rangle = g \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon(k)} - y} ng=Vgk∑⟨nk⟩=g∫(2π)3d3kz−1eβε(k)−y1 其中： y=+1y = +1y=+1：玻色子 y=−1y = -1y=−1：费米子 ε(k)=ℏ2k22m\varepsilon(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}ε(k)=2mℏ2k2 能量密度 εg=g∫d3k(2π)3ε(k)1z−1eβε(k)−y\varepsilon_g = g \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \varepsilon(k) \frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon(k)} -...
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5. 量子理想气体理论 5.1 量子系综理论 微正则系综 ρ^micro=1Ω(E)∑n∣En⟩⟨En∣δEn,E\hat{\rho}_{\text{micro}} = \frac{1}{\Omega(E)} \sum_n |E_n\rangle\langle E_n| \delta_{E_n,E} ρ^micro=Ω(E)1n∑∣En⟩⟨En∣δEn,E 其中 Ω(E)\Omega(E)Ω(E) 是能量 EEE 的简并度 正则系综 ρ^can=1Ze−βH^=1Z∑ne−βEn∣En⟩⟨En∣\hat{\rho}_{\text{can}} = \frac{1}{Z} e^{-\beta \hat{H}} = \frac{1}{Z} \sum_n e^{-\beta E_n} |E_n\rangle\langle E_n| ρ^can=Z1e−βH^=Z1n∑e−βEn∣En⟩⟨En∣ 巨正则系综 ρ^grand=1Ξe−β(H^−μN^)\hat{\rho}_{\text{grand}} = \frac{1}{\Xi}...
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2. 气体动力学理论 (Kinetic Theory of Gases) 2.1 系综平均与时间平均 基本问题 系综平均：⟨O⟩ens=∫dΓ ρO\langle O \rangle_{\text{ens}} = \int d\Gamma \ \rho O⟨O⟩ens=∫dΓ ρO 时间平均：⟨O⟩time=1T∫0TO(t)dt\langle O \rangle_{\text{time}} = \frac{1}{T} \int_0^T O(t) dt⟨O⟩time=T1∫0TO(t)dt 各态历经假设：limT→∞⟨O⟩time=⟨O⟩ens\lim_{T\to\infty} \langle O \rangle_{\text{time}} = \langle O \rangle_{\text{ens}}limT→∞⟨O⟩time=⟨O⟩ens 注：各态历经性在一般情况下未被严格证明，但在大多数物理系统中近似成立 实验测量 宏观量（如压强 PPP）本质上是时间平均： P=1T∫0Tdt(dN(t)dt⋅动量转移m)P = \frac{1}{T}...
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2. 气体动力学理论 (Kinetic Theory of Gases) 2.1 基本框架 核心问题 平衡态定义：多粒子系统的宏观平衡态如何定义？ 趋衡过程：系统如何演化至平衡态？ 动力学方程：如何建立有效的动力学方程描述演化？ 理论工具 刘维尔定理：相空间概率密度演化 BBGKY序列：约化分布函数层次 玻尔兹曼方程：单粒子分布函数的近似动力学 ∂f1∂t+F(f1)=C[f1]\frac{\partial f_1}{\partial t} + \mathcal{F}(f_1) = C[f_1] ∂t∂f1+F(f1)=C[f1] 其中 f1(p⃗,q⃗,t)f_1(\vec{p},\vec{q},t)f1(p,q,t) 是单粒子分布函数，CCC 为碰撞项 2.2 相空间描述 系综概率密度 dΓ=∏i=1Ndp⃗idq⃗i(相空间体积元)ρ(P⃗,Q⃗,t)dΓ=limN→∞dN(P⃗,Q⃗,t)N(归一化概率密度)\begin{aligned} d\Gamma &= \prod_{i=1}^N d\vec{p}_i d\vec{q}_i...
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6. 中心极限定理与信息论 6.1 中心极限定理的严格推导 辅助变量构造 定义标准化变量： Y=X−N⋅⟨x⟩cNY = \frac{X - N \cdot \langle x \rangle_c}{\sqrt{N}} Y=NX−N⋅⟨x⟩c 其中： XXX 是 NNN 个独立随机变量的和 ⟨x⟩c\langle x \rangle_c⟨x⟩c 是单次试验的累积量（期望值） 累积量变换 ⟨Yn⟩c⋅N1−n2→N→∞{⟨x2⟩c,n=20,n>2\langle Y^n \rangle_c \cdot N^{1 - \frac{n}{2}} \xrightarrow{N \to \infty} \begin{cases} \langle x^2 \rangle_c, & n=2 \\ 0, & n>2 \end{cases}⟨Yn⟩c⋅N1−2nN→∞{⟨x2⟩c,0,n=2n>2 高斯分布收敛 limN→∞pY(y)=12π⟨x2⟩ce−y22⟨x2⟩c\lim_{N \to \infty} p_Y(y) =...