solidphys-8

固体物理 - 第八章

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目录

1. 大量粒子的集体行为
2. 周期晶格的后果
3. 调控电子能带结构
4. 超越单电子图像
5. 超越完美晶体

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大量粒子的集体行为

固体构成与准粒子

• 固体组成：

  $$\text{固体} = \text{晶格离子} + \text{价电子} = \text{声子气体} + \text{电子气体}$$

• 声子气体：
  • 含 $N$ 原子的晶体 → $3N$ 个耦合量子谐振子
  • 玻色-爱因斯坦统计：$E = \sum \hbar\omega_i \left( n_i + \frac{1}{2} \right)$
  • 决定热容等热学性质
• 电子气体：
  • 费米-狄拉克统计：$f(E) = \frac{1}{e^{(E-E_F)/k_BT} + 1}$
  • 仅费米能级附近电子参与输运

涌现现象（Emergence）

• 定义：大量简单个体通过局部相互作用形成宏观复杂行为

  $$\text{微观规则} \xrightarrow{\text{相互作用}} \text{宏观新性质}$$

• 特征：
  • 不可还原性
  • 动态生成性
  • 层级差异性
• 实例：

  系统	微观行为	涌现性质
  铁磁性	自旋无序	宏观磁有序
  量子霍尔效应	二维电子气	量子化电导
  超导性	电子散射	零电阻/迈斯纳效应

准粒子与集体激发

• 准粒子：集体激发的量子化描述

  类型	对应激发	能量尺度
  声子	晶格振动	~0.01 eV
  等离激元	电子集体振荡	5-20 eV
  激子	电子-空穴束缚对	~0.1 eV

• 物理意义：演生现象的微观载体

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周期晶格的后果

格波与布洛赫波

• 格波：
  • 晶格周期性 → 声子色散关系 $\omega(\mathbf{q})$
  • 布里渊区边界打开声学/光学支带隙
• 布洛赫波：

  $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$

  • $k$ 接近布里渊区边界 → 布拉格散射 → 电子能隙

人工周期结构

1. 光子晶体：
   • 折射率周期性调制：$\epsilon(\mathbf{r}) = \epsilon(\mathbf{r}+\mathbf{R})$
   • 麦克斯韦方程解 → 光子带隙
   • 分类：

     graph LR  
     A[光子晶体] --> B[一维]  
     A --> C[二维]  
     A --> D[三维]  
     

2. 声子晶体：
   • 弹性参数周期性调制
   • 产生声波带隙（~kHz-MHz）

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调控电子能带结构

维度调控

维度	结构	限域效应	态密度特征
2D	量子阱	一维限域 → 子能带	阶梯状
1D	量子线	二维限域 → 弹道输运	$g(E) \propto E^{-1/2}$
0D	量子点	三维限域 → 离散能级	δ函数峰

• 量子点荧光：尺寸依赖性能隙

  $$E_g \approx E_g^{\text{体}} + \frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*R^2}$$

拓扑量子态

• 拓扑不变量：连续形变下的守恒量（如陈数 $C$）
• 拓扑材料分类：

  类型	特征	实例
  拓扑绝缘体	体绝缘/表面金属	Bi₂Se₃
  外尔半金属	手性外尔点	TaAs
  狄拉克半金属	四重简并点	Na₃Bi

• 量子自旋霍尔效应：

  $$\sigma_{xy}^{\uparrow} = -\sigma_{xy}^{\downarrow} = \frac{e^2}{h}$$

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超越单电子图像

强关联电子体系

• 单电子图像失效：
  • 预测绝缘体为金属（如 NiO）
  • 根源：忽略电子间库仑排斥 $U$
• 莫特绝缘体：
  • 半填充窄带 + 强排斥（$U > W$）→ 绝缘性

  $$H = -t \sum_{\langle ij\rangle\sigma} (c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + \text{h.c.}) + U \sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}$$

• 典型体系：
  • 高温超导体（铜氧化物）
  • 重费米子材料
  • 量子自旋液体

挑战与复杂性

1. 理论挑战：
   • 微扰理论失效 → 非微扰方法（DMFT, 张量网络）
2. 实验表征：
   • 高分辨率谱学（ARPES, STM）
   • 中子散射技术
3. 多自由度竞争：
   • 电荷-自旋-轨道-晶格耦合

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超越完美晶体

晶体缺陷

• 点缺陷：

  类型	描述
  空位	晶格原子缺失
  间隙原子	外来原子占据间隙位置
  弗伦克尔缺陷	空位-间隙对

• 线缺陷：
  • 刃位错：额外原子半平面
  • 螺位错：螺旋状原子错排
• 面缺陷：
  • 层错：晶面堆垛顺序错误
  • 孪晶：镜面对称生长区域

表面与非晶固体

• 表面重构：
  • 最小化表面能 → 原子重排（如 Si(100)-(2×1)）
• 表面电子态：
  • 能隙内的局域态 → $|\psi| \propto e^{-z/\lambda}$
• 非晶固体：
  • 长程无序（如 SiO₂玻璃）
  • 安德森局域化：无序导致电子局域

  $$W > W_c \approx B \quad (\text{带宽})$$

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