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固体物理 - 第七章：能带论

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目录

1. 能带论基础与核心问题
2. 布洛赫定理与基本假设
3. 近自由电子模型
4. Kronig-Penney模型
5. 紧束缚模型
6. 布里渊区与费米面
7. 电子动力学与准粒子
8. 固体分类与半导体
9. 本章总结

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能带论基础与核心问题

自由电子模型的局限

1. 未解决问题：

   • 正霍尔系数的起源（如Zn, Cd等金属）
   • 金属传导电子与原子价电子的关联性
   • 固体电阻率跨越32个数量级的根本原因（$10^{-10}$至$10^{22}$ Ω·cm）

2. 核心疑问：

   • 为何相同电子浓度下，金属/半导体/绝缘体的电导率差异巨大？
   • 电子响应外电场的微观机制是什么？

能带形成的基本图像

• 原子聚集效应：
  孤立原子能级 $\xrightarrow{\text{聚集}}$ 能带分裂

  $$E_{\text{atom}} \rightarrow E(k)$$

• 价电子主导：浅层电子能级展宽显著，主导成键与输运性质

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布洛赫定理与基本假设

布洛赫定理

• 波函数形式：

  $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$

  其中 $u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r} + \mathbf{T})$ 具有晶格周期性
• 物理意义：平移对称性的必然结果

基本假设

1. 玻恩-奥本海默近似：

   $$m_e \ll m_{\text{ion}} \Rightarrow \text{静态离子势场}$$

2. 平均场近似：

   $$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U_{\text{eff}}(\mathbf{r}) \right] \psi = E\psi$$

   $U_{\text{eff}}$ 包含电子-离子作用和其他电子的平均作用

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近自由电子模型

核心思想

• 弱周期势 $U(\mathbf{r})$ 视为微扰
• 自由电子色散 $E_0(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ 为基础解系

能隙产生机制

• 布拉格条件：

  $$|\mathbf{k}| = |\mathbf{k} + \mathbf{G}|$$

• 一维临界点：$k = \pm \frac{n\pi}{a}$
• 能隙大小：

  $$\Delta E \approx |U_G| \quad (\text{势场傅里叶分量})$$

能带特征

区域	能量特征
允带	$E(k)$ 连续
禁带	无电子态
布里渊区边界	$\Delta E$ 最大处

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Kronig-Penney模型

势场模型

$$U(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < a \\ U_0 & -b < x < 0 \end{cases} \quad \text{周期 } L = a + b$$

解析解

• 特征方程（$\delta$ 函数极限）：

  $$\cos(ka) = \cos(Ka) + \frac{P}{Ka} \sin(Ka), \quad P = \frac{mU_0 ba}{\hbar^2}$$

• 允带条件：$|\cos(ka)| \leq 1$

参数影响

$P$ 值	能带特征
$P \to 0$	回归自由电子模型
$P$ 增大	能隙$\uparrow$，带宽$\downarrow$
$P \to \infty$	孤立原子极限

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紧束缚模型

基本思想

• 原子轨道线性组合：

  $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}_j} \phi(\mathbf{r} - \mathbf{R}_j)$$

• 跃迁积分：

  $$\beta = -\int \phi^*(\mathbf{r}) \Delta U \phi(\mathbf{r}-\mathbf{R}) d^3r$$

简单立方晶格（s轨道）

• 能带色散：

  $$E(\mathbf{k}) = E_{\text{atom}} - 2\beta (\cos k_x a + \cos k_y a + \cos k_z a)$$

• 带宽：$W = 12|\beta|$

轨道类型影响

原子轨道	能带特征
s轨道	单带，非简并
p轨道	三重简并，3个子带
d轨道	五重简并，5个子带

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布里渊区与费米面

布里渊区表示法

1. 简约区表示：所有能带映射到第一布里渊区
2. 周期区表示：每个布里渊区绘制完整能带
3. 扩展区表示：不同能带在不同布里渊区绘制

费米面物理意义

• $T=0$ K时占据态与非占据态的分界面
• 形状决定金属性质：
  • 自由电子：球形费米面
  • 真实金属：布里渊区边界处变形

特殊k点坐标

晶格类型	$\Gamma$	$X$	$L$
FCC	(0,0,0)	(0.5,0,0.5)	(0.5,0.5,0.5)
BCC	(0,0,0)	(0.5,0,0.5)	(0.5,0.5,0.5)

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电子动力学与准粒子

半经典运动方程

1. 群速度：

   $$\mathbf{v}_g = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k})$$

2. 加速度：

   $$\hbar \frac{d\mathbf{k}}{dt} = \mathbf{F}_{\text{ext}}$$

有效质量张量

$$\left( \frac{1}{m^*} \right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}$$

能带位置	$m^*$ 符号	准粒子类型
能带底	$m^* > 0$	电子
能带顶	$m^* < 0$	空穴

空穴概念

• 定义：价带未占据态的等效准粒子
• 性质：

  $$q_h = +e, \quad m_h^* = -m_e^*$$

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固体分类与半导体

分类标准

固体类型	能带特征	$\rho$ (Ω·cm)	$E_g$ (eV)
金属	部分填充带	$10^{-8}-10^{-6}$	~0
半导体	小带隙(0.1-3eV)	$10^{-3}-10^4$	0.1-3
绝缘体	大带隙(>3eV)	$>10^{10}$	>3

半导体物理

1. 本征半导体：

   $$n_i = \sqrt{N_c N_v} e^{-E_g/2k_BT}$$

2. 掺杂类型：

   类型	掺杂剂	多数载流子
   n型	V族（P, As）	电子
   p型	III族（B, Al）	空穴

3. 带隙类型：

   • 直接带隙（GaAs）：$\mathbf{k}_{\text{CBmin}} = \mathbf{k}_{\text{VBmax}}$
   • 间接带隙（Si）：$\mathbf{k}_{\text{CBmin}} \neq \mathbf{k}_{\text{VBmax}}$

典型参数

材料	$E_g$ (eV)	类型	$m_e^*/m_0$	$m_h^*/m_0$
Si	1.12	间接	0.98	0.49
GaAs	1.42	直接	0.067	0.45
GaN	3.4	直接	0.20	0.80

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本章总结

核心结论

1. 布洛赫定理：

   $$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$

2. 能隙起源：布里渊区边界布拉格反射
3. 两类模型：
   • 近自由电子（弱势场）
   • 紧束缚（强势场）

半导体特性

• 电导调控：

  $$\sigma \propto n\mu \quad (\text{载流子浓度×迁移率})$$

• 光学性质：

  $$\hbar\omega > E_g \quad (\text{带间吸收})$$

能带论意义

• 统一解释金属/半导体/绝缘体的电学性质差异
• 奠定现代半导体器件物理基础