固体物理 - 第四章：倒易晶格与X射线衍射

赵纪军、蒋雪、陈仲佳等
华南师范大学物理学院

物理意义：描述晶格周期性的傅里叶空间表示
数学定义：
给定正晶格初基矢量 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ ，倒易晶格初基矢量为：
$\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \quad \mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \quad \mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}$
正交关系： $\mathbf{b}_i \cdot \mathbf{a}_j = 2\pi\delta_{ij}$

布里渊区

第一布里渊区：倒易晶格的Wigner-Seitz原胞
重要类型：
- FCC倒格子：BCC形状的布里渊区（截角八面体）
- BCC倒格子：FCC形状的布里渊区（菱形十二面体）

图：FCC和BCC晶格的第一布里渊区三维模型

倒格子性质

体积关系：
$V_{\text{正}} \cdot V_{\text{倒}} = (2\pi)^3$
实例：
- SC晶格：倒格子仍为SC
- FCC晶格：倒格子为BCC（立方边长 $4\pi/a$ ）
- BCC晶格：倒格子为FCC（立方边长 $4\pi/a$ ）

晶面与密勒指数

密勒指数定义

确定步骤：
1. 求晶面在晶轴上的截距 $x,y,z$ （以初基矢量为单位）
2. 取倒数 $1/x, 1/y, 1/z$
3. 化为互质整数 $(hkl)$

图：立方晶体中主要晶面的密勒指数示意图

晶面间距公式

立方晶体：
$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
六方晶体：使用四指数表示 $(hkil)$ ，其中 $i = -(h+k)$

晶向表示

晶向指数 $[uvw]$ ：方向矢量 $\mathbf{R} = u\mathbf{a}_1 + v\mathbf{a}_2 + w\mathbf{a}_3$ 的最简整数比
立方晶体： $[hkl]$ 方向垂直 $(hkl)$ 晶面

晶体的X射线衍射

X射线基础

产生原理：
- 电子轰击金属靶 → 内壳层电子跃迁 → 特征X射线
常用波长：
- Cu Kα₁: 1.540 Å
- Cu Kα₂: 1.544 Å

图：铜靶X射线谱示意图（显示连续谱与特征峰）

衍射装置

XRD仪器组成：
1. X射线源
2. 样品台
3. 测角仪
4. 探测器
衍射信息：
- 峰位 → 晶格参数
- 峰强 → 原子排列
- 峰宽 → 晶体质量

图：X射线衍射仪工作原理示意图

干涉衍射与布拉格定律

布拉格定律

公式：
$2d \sin \theta = n\lambda$
物理意义：当相邻晶面反射光程差为波长整数倍时发生相长干涉

图：布拉格衍射几何示意图（显示光程差计算）

衍射条件

波长限制： $\lambda \leq 2d$ （故可见光无法衍射）
衍射阶数： $n=1$ 对应 $d_{hkl}$ ， $n=2$ 等价于 $d_{2h2k2l}$

劳厄条件

劳厄方程

矢量形式：
$\mathbf{k}' - \mathbf{k} = \mathbf{G}$
其中 $\mathbf{G}$ 为倒格矢
物理意义：散射矢量等于倒格矢时发生相长干涉

与布拉格定律等价性

$\mathbf{G} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3 \quad \Rightarrow \quad |\mathbf{G}| = \frac{2\pi}{d_{hkl}}$

推导可得：

$2d_{hkl} \sin \theta = \lambda$

布里渊区边界

倒格矢 $\mathbf{G}$ 的垂直平分面满足劳厄条件
物理意义：波矢终止于此平面时发生布拉格反射

图：倒空间劳厄条件与实空间布拉格定律对应关系

结构因子与原子散射因子

结构因子

定义：晶胞内所有原子的散射波相干叠加
$S_{\mathbf{G}} = \sum_{j=1}^{m} f_j e^{i\mathbf{G} \cdot \mathbf{r}_j}$
原子位置： $\mathbf{r}_j = x_j\mathbf{a}_1 + y_j\mathbf{a}_2 + z_j\mathbf{a}_3$

消光规则

晶体结构	消光条件	实例
BCC	$h+k+l$ =奇数	(100), (111)
FCC	$h,k,l$ 奇偶混杂	(100), (110)
金刚石	同FCC且 $h+k+l≠4n$	(200)不消光

原子散射因子

定义：原子内电子云分布决定的散射能力
$f_j = \int n_j(\mathbf{r}) e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} d^3r$
性质： $f_j$ 随 $\sin\theta/\lambda$ 增大而减小

本章总结

核心公式

倒易晶格初基矢量：

$\mathbf{b}_i = 2\pi\frac{\mathbf{a}_j \times \mathbf{a}_k}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}$
布拉格定律：

$2d_{hkl} \sin \theta = \lambda$
劳厄条件：

$\Delta \mathbf{k} = \mathbf{G}$
结构因子：

$S_{\mathbf{G}} = \sum_j f_j e^{2\pi i (hx_j + ky_j + lz_j)}$

概念关系

graph LR
A[正晶格] -- 傅里叶变换 --> B[倒易晶格]
B -- 垂直平分面 --> C[布里渊区]
C -- 边界条件 --> D[劳厄条件]
D -- 几何变换 --> E[布拉格定律]
F[原子位置] -- 散射叠加 --> G[结构因子]
G -- 消光规则 --> H[衍射图谱]

衍射信息解读

衍射特征	决定因素	物理意义	应用实例
峰位 ( $2\theta$ )	晶面间距 $d_{hkl}$	满足布拉格定律 $2d\sin\theta = \lambda$	测定晶格参数： $a = \frac{\lambda}{2\sin\theta}\sqrt{h^2+k^2+l^2}$
峰强度	结构因子 $S_{\mathbf{G}}$	$I \propto \|S_{\mathbf{G}}\|^2$	确定原子位置： $S_{\mathbf{G}} = \sum_j f_j e^{2\pi i (hx_j+ky_j+lz_j)}$
峰宽	晶体尺寸 $L$ 和缺陷	谢乐公式： $\beta = \frac{K\lambda}{L\cos\theta}$	分析晶体质量： - 纳米晶尺寸 - 位错密度 - 微观应变
峰形	仪器函数与样品特性	卷积关系： $I_{obs} = I_{ideal} \otimes G$	分离物理宽化与仪器宽化
小角散射	纳米结构特征尺寸	Guinier定律： $I(q) \propto e^{-q^2R_g^2/3}$	纳米颗粒尺寸分布分析

符号说明：

$\beta$ ：衍射峰半高宽 (FWHM)
$K$ ：谢乐常数 (~0.9)
$R_g$ ：回转半径
$q = 4\pi\sin\theta/\lambda$ ：散射矢量

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