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5. 概率分布与极限定理 5.1 二项分布的特征函数 二项分布概率质量函数 设NAN_ANA为NNN次独立伯努利试验中事件A发生的次数： P(NA)=(NNA)pANA(1−pA)N−NAP(N_A) = \binom{N}{N_A} p_A^{N_A} (1-p_A)^{N-N_A} P(NA)=(NAN)pANA(1−pA)N−NA 特征函数 P~N(k)=⟨e−ikNA⟩=∑NA=0N(NNA)pANA(1−pA)N−NAe−ikNA=[pAe−ik+(1−pA)]N\begin{aligned} \tilde{P}_N(k) &= \langle e^{-ikN_A} \rangle \\ &= \sum_{N_A=0}^N \binom{N}{N_A} p_A^{N_A} (1-p_A)^{N-N_A} e^{-ikN_A} \\ &= [p_A e^{-ik} +...
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4. 概率论基础 (Fundamentals of Probability) 4.1 基本概念 随机变量与样本空间 样本空间 SSS：所有可能结果的集合 S≡{x1,x2,…}S \equiv \{x_1, x_2, \ldots\} S≡{x1,x2,…} 离散随机变量（有限或可数无限）： 硬币抛掷：Scoin={正面,反面}S_{\text{coin}} = \{\text{正面}, \text{反面}\}Scoin={正面,反面} 骰子投掷：Sdice={1,2,3,4,5,6}S_{\text{dice}} = \{1,2,3,4,5,6\}Sdice={1,2,3,4,5,6} 连续随机变量： 气体分子速度：Sv={−∞<vx,vy,vz<+∞}S_v = \{-\infty < v_x, v_y, v_z < +\infty\}Sv={−∞<vx,vy,vz<+∞} 金属中电子能量（T=0K）：Sε={0⩽ε⩽εF}S_\varepsilon = \{0 \leqslant \varepsilon...
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固体物理 - 第五章：晶格振动与热学性质 华南师范大学 物理学院 目录 为什么要研究晶体的振动？ 一维单原子链的振动 原胞中包含两原子的一维链的振动 三维晶体的振动 声子的概念 热容量与声子态密度 爱因斯坦模型与德拜模型 热膨胀与热导率 本章总结 为什么要研究晶体的振动？ 原子振动事实：有限温度下（熔化前），原子在平衡位置附近快速振动： 频率：~10¹³ Hz（原子质量轻） 振幅：~10⁻² Å（原子间距的1/100） 集体振动模：原子间存在相互作用，振动为集体行为，形成 行波（量子化的晶格振动 → 声子）。 物理意义： 解释晶体的热学性质（热容、热膨胀、热导） 理解外场（如电磁场）与晶格的相互作用 图：原子在平衡位置附近的快速振动 一维单原子链的振动 模型设定 一维无限链，原子质量 MMM，平衡间距 aaa 位移 us(t)u_s(t)us(t)，位置 xs(t)=Xs+us(t)x_s(t) = X_s + u_s(t)xs(t)=Xs+us(t) 边界条件：Born-von Kármán 周期边界条件...
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4. 量子统计力学基础 4.1 量子系统的热容量 经典理论的失败 经典统计力学预测： CV=常数(与温度无关)C_V = \text{常数} \quad (\text{与温度无关}) CV=常数(与温度无关) 但实验表明： CV→0当T→0C_V \to 0 \quad \text{当} \quad T \to 0 CV→0当T→0 特别是： 振动自由度 CVvib→0C_V^{\text{vib}} \to 0CVvib→0 (T→0T \to 0T→0) 转动自由度 CVrot→0C_V^{\text{rot}} \to 0CVrot→0 (T→0T \to 0T→0) 量子解释 核心机制：量子化能级导致低温下自由度"冻结" 振动自由度配分函数：Zvib=∑n=0∞e−βℏω(n+1/2)=e−βℏω/21−e−βℏωZ_{\text{vib}} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta \hbar\omega(n+1/2)} =...
staphy_lecture9
3. 统计系综理论 3.1 正则系综 (Canonical Ensemble) 概率分布 ρ(μ)=e−βH(μ)Z(T,V,N)\rho(\mu) = \frac{e^{-\beta H(\mu)}}{Z(T, V, N)} ρ(μ)=Z(T,V,N)e−βH(μ) 其中： β=1kBT\beta = \frac{1}{k_B T}β=kBT1 Z(T,V,N)=∑μe−βH(μ)Z(T, V, N) = \sum_{\mu} e^{-\beta H(\mu)}Z(T,V,N)=∑μe−βH(μ) 为配分函数 与微正则系综的联系 当系统与热库接触时，能量概率分布： P(E)=Ω(E)e−βEZP(E) = \frac{\Omega(E) e^{-\beta E}}{Z} P(E)=ZΩ(E)e−βE 其中Ω(E)\Omega(E)Ω(E)为微正则系综态密度 亥姆霍兹自由能 F(T,V,N)=−kBTlnZF(T, V, N) = -k_B T \ln Z F(T,V,N)=−kBTlnZ 在热力学极限下： F(E∗)≈−kBTlnZ(N→∞)F(E^*)...
staphy_lecture8
3.3 两能级系统 (Two-level system) 微观态描述 考虑 NNN 个原子组成的系统，每个原子有两个能级： 基态 ∣g⟩|g\rangle∣g⟩（能量 0） 激发态 ∣e⟩|e\rangle∣e⟩（能量 ϵ\epsilonϵ） 微观态由占据数集合 {ni}\{n_i\}{ni} 指定： ni={0第 i 个原子在基态1第 i 个原子在激发态n_i = \begin{cases} 0 & \text{第 } i \text{ 个原子在基态} \\ 1 & \text{第 } i \text{ 个原子在激发态} \end{cases}ni={01第 i 个原子在基态第 i 个原子在激发态 系统总能量： H({ni})=ϵ∑i=1Nni≡ϵN1H(\{n_i\}) = \epsilon \sum_{i=1}^N n_i \equiv \epsilon N_1 H({ni})=ϵi=1∑Nni≡ϵN1 其中 N1N_1N1 是激发态原子数 微正则系综 宏观态由总能量 EEE 和原子数 NNN...
staphy_lecture7
2.7 守恒定律与流体动力学 (Conservation laws & Hydrodynamics) 平衡如何达到？(对应 Kardar 书中的问题 Q3) 弛豫阶段 阶段(I) [时间尺度 O(τc)O(\tau_c)O(τc)] 双粒子关联函数 f2(q⃗1,q⃗2,t)f_2(\vec{q}_1, \vec{q}_2, t)f2(q1,q2,t) 解关联 (de-correlate) 主要过程：在相互作用力程 ddd 范围内的碰撞 阶段(II) [时间尺度 O(τx)O(\tau_x)O(τx)] 碰撞之间的平均自由时间尺度 (τx\tau_xτx) 单粒子分布 f1(p⃗,x⃗,t)f_1(\vec{p},\vec{x},t)f1(p,x,t) 达到局部平衡，使玻尔兹曼方程碰撞项消失 引入局部数密度：n(x⃗,t)=∫d3p f1(p⃗,x⃗,t)n(\vec{x},t)=\int d^3p\,...
staphy_lecture6
2.4 玻尔兹曼方程 (The Boltzmann Equation) 近似方法。单粒子分布函数 f1(p⃗,q⃗,t)f_1(\vec{p}, \vec{q}, t)f1(p,q,t) 出发点为BBGKY序列的前两个方程。 [∂∂t−β^1,s^1]=∑n=1s∫dVs+1∂2(n−qs+1)∂fˉn⋅∂f˙s+1∂fˉn(一般形式)\left[\frac{\partial}{\partial t} - \hat{\beta}_{1}, \hat{s}_{1}\right] = \sum_{n=1}^{s} \int dV_{s+1} \frac{\partial \sqrt{2(n - q_{s+1})}}{\partial \bar{f}_{n}} \cdot \frac{\partial \dot{f}_{s+1}}{\partial \bar{f}_{n}} \quad...
热涨落实现的无序诱导磁序
阅读笔记：Order-by-disorder without quantum zero-point fluctuations in the pyrochlore Heisenberg ferromagnet with Dzyaloshinskii-Moriya interactions 研究背景与核心问题 Order-by-disorder (ObD)：涨落（热或量子）通过打破经典模型的偶然简并性选择特定有序态的现象。 关键问题：是否存在仅由热涨落驱动ObD而无量子零点涨落的量子系统？ 本文发现：在具有Dzyaloshinskii-Moriya（DM）相互作用的铁磁吡咯烷晶格中，纯热ObD存在，而量子零点涨落不参与选择。 模型与哈密顿量 研究体系为吡咯烷晶格上的海森堡铁磁体，哈密顿量： H=−J∑⟨i,j⟩Si⋅Sj−D∑⟨i,j⟩dij⋅(Si×Sj)\mathcal{H} = -J \sum_{\langle i,j\rangle} \bm{S}_i \cdot \bm{S}_j - D \sum_{\langle i,j\rangle} \bm{d}_{ij}...