基本概念与核性质

1. 原子的发现与模型演变

J.J.汤姆逊的葡萄干布丁模型 (1897)

  • J.J.汤姆逊通过阴极射线实验发现电子，证明原子可分离出带负电的电子。
  • 提出原子模型：正电荷均匀分布在整个原子空间（直径约10⁻¹⁰ m），电子嵌在其中，类似葡萄干布丁结构。
  • 模型局限性：无法解释α粒子散射实验中的大角度偏转现象。

卢瑟福金箔实验 (1908)

  • 实验装置：放射性镭源发射α粒子束（He²⁺离子），经铅盒准直后轰击薄金箔，用荧光屏探测散射粒子。
  • 实验结果：
    • 绝大多数α粒子直线穿过金箔
    • 少数α粒子发生小角度偏转（<10°）
    • 极少数α粒子（约1/8000）偏转角度 >90°，甚至反弹
  • 理论与观测矛盾：葡萄干布丁模型预测α粒子最大偏转角 ≤0.01°，但实验观测到>90°偏转。

核式原子模型

  • 卢瑟福基于实验提出：
    • 原子中心存在带正电的原子核（直径约10⁻¹⁵ m），集中了绝大部分质量
    • 电子绕核运动，原子大部分空间为空隙
    • 核电荷量 ZeZ_e（ZZ为原子序数）
  • 散射截面公式：

    b=Ze24πϵ0Eαcot⁡(θ2)b = \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 E_\alpha} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right)

    其中 bb 为碰撞参数，EαE_\alpha 为α粒子动能，θ\theta 为散射角。

2. 原子核的基本组成

核子与基本参量

  • 原子核 (nucleus)：由质子(proton)和中子(neutron)构成
  • 核子 (nucleon)：质子与中子的统称
  • 原子序数 Z：原子核中质子数 = 核电荷数 = 核外电子数
  • 中子数 N：原子核中中子数目
  • 质量数 A：核子总数，A=Z+NA = Z + N
  • 核素表示法：\ce{^{A}_{Z}X}（如 \ce{^{235}_{92}U}）

同位素 (Isotopes)

  • 定义：相同ZZ（同种元素）、不同NN（不同AA）的原子
  • 特性：
    • 在元素周期表占据相同位置
    • 化学性质几乎相同
    • 核性质显著不同（如放射性）
  • 示例：氢的同位素 \ce{^{1}H}（氕）、\ce{^{2}H}（氘）、\ce{^{3}H}（氚）

核素 (Nuclide)

  • 定义：具有特定ZZ和NN（即特定AA）的原子核物种
  • 与同位素区别：
    • 核素强调单个核物种的核性质
    • 同位素强调同元素核素的化学同一性
  • 示例：\ce{^{12}_{6}C}、\ce{^{13}_{6}C} 是碳元素的两种核素，互为同位素

3. 原子质量与质量单位

原子质量单位 (u)

  • 定义：\ce{^{12}C} 原子质量的1/12

    1\ u = \frac{m(\ce{^{12}C})}{12} = 1.660539 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 931.494\ \text{MeV}/c^2

  • 粒子质量：

    mp=1.007276 u=938.272 MeV/c2mn=1.008665 u=939.565 MeV/c2me=0.000548 u=0.511 MeV/c2\begin{align*} m_p &= 1.007276\ u = 938.272\ \text{MeV}/c^2 \\ m_n &= 1.008665\ u = 939.565\ \text{MeV}/c^2 \\ m_e &= 0.000548\ u = 0.511\ \text{MeV}/c^2 \end{align*}

原子质量近似

  • 原子质量 ≈ A×uA \times u
  • 示例：\ce{^{235}_{92}U} 原子
    • Z=92Z=92，N=143N=143，A=235A=235
    • 计算质量：92mp+143mn+92me≈236.9589 u92m_p + 143m_n + 92m_e \approx 236.9589\ u
    • 实测质量：234.9561 u234.9561\ u
    • 质量亏损：Δm=2.0028 u\Delta m = 2.0028\ u

4. 原子核尺寸与密度

核半径经验公式

  • 半径公式：R≈r0A1/3R \approx r_0 A^{1/3}，其中 r0=1.2 fmr_0 = 1.2\ \text{fm}（1 fm = 10−1510^{-15} m）
  • 推导：假设核子为不可压缩球体，体积 V∝AV \propto A，故 R∝A1/3R \propto A^{1/3}

核密度

  • 密度计算：

    ρ=mV=Au43πR3=u43πr03≈2.3×1017 kg/m3\rho = \frac{m}{V} = \frac{A u}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{u}{\frac{4}{3}\pi r_0^3} \approx 2.3 \times 10^{17}\ \text{kg/m}^3

  • 对比：
    • 核密度：2.3×1014 g/cm32.3 \times 10^{14}\ \text{g/cm}^3
    • 铁密度：7.8 g/cm37.8\ \text{g/cm}^3
    • 核密度为普通物质的 ∼1014\sim 10^{14} 倍

5. 结合能 (Binding Energy)

质量亏损与结合能

  • 质量亏损 Δm\Delta m：孤立核子质量总和与原子核质量之差

    Δm=[Zmp+Nmn]−mnucleus\Delta m = [Zm_p + Nm_n] - m_{\text{nucleus}}

  • 结合能 BB：核子结合成核释放的能量（爱因斯坦质能关系）

    B=Δm⋅c2B = \Delta m \cdot c^2

  • 比结合能 B/AB/A：平均每个核子的结合能，表征核稳定性

结合能计算示例

  • \ce{^{4}_{2}He} 核：

    \begin{align*} \Delta m &= 2m_p + 2m_n - m_{\ce{^{4}He}} \\ &= 2(1.007276) + 2(1.008665) - 4.002602 \\ &= 0.030376\ u \\ B &= 0.030376 \times 931.494\ \text{MeV} = 28.30\ \text{MeV} \\ B/A &= 7.07\ \text{MeV/nucleon} \end{align*}

比结合能曲线

  • 轻核区 (A<20A < 20)：B/AB/A 随AA增大快速上升（聚变释放能）
  • 中重核区 (40<A<15040 < A < 150)：B/A≈8.5 MeVB/A \approx 8.5\ \text{MeV}（最稳定区）
  • 重核区 (A>150A > 150)：B/AB/A 缓降（裂变释放能）
  • 峰值位置：A≈56A \approx 56（\ce{^{56}Fe}，B/A=8.8 MeVB/A = 8.8\ \text{MeV}）

6. 角动量与自旋

角动量量子化

  • 轨道角动量 L⃗\vec{L}：

    ∣L⃗∣=l(l+1) ℏ,l=0,1,2,⋯|\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)}\ \hbar, \quad l = 0,1,2,\cdots

  • 自旋角动量 S⃗\vec{S}：

    ∣S⃗∣=s(s+1) ℏ,s=12 (电子/核子)|\vec{S}| = \sqrt{s(s+1)}\ \hbar, \quad s = \frac{1}{2}\ (\text{电子/核子})

  • 总角动量 J⃗=L⃗+S⃗\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}：

    ∣J⃗∣=j(j+1) ℏ,j=∣l±s∣|\vec{J}| = \sqrt{j(j+1)}\ \hbar, \quad j = |l \pm s|

精细结构与超精细结构

  • 精细结构：电子自旋-轨道耦合导致能级分裂
    • 量子数：j=l+12j = l + \frac{1}{2} 或 j=l−12j = l - \frac{1}{2}
    • 示例：钠D线分裂为 3p3/23p_{3/2} 和 3p1/23p_{1/2}
  • 超精细结构：核自旋II与电子总角动量JJ耦合
    • 总角动量 F⃗=I⃗+J⃗\vec{F} = \vec{I} + \vec{J}

    ∣F⃗∣=F(F+1) ℏ,F=∣I±J∣|\vec{F}| = \sqrt{F(F+1)}\ \hbar, \quad F = |I \pm J|

    • 磁量子数：mF=−F,−F+1,⋯ ,Fm_F = -F, -F+1, \cdots, F

7. 宇称 (Parity)

宇称操作与定义

  • 宇称算符 P^\hat{P}：空间反演变换 (x,y,z)→(−x,−y,−z)(x,y,z) \rightarrow (-x,-y,-z)
  • 波函数宇称：

    P^ψ(r⃗)=ψ(−r⃗)=Pψ(r⃗)\hat{P}\psi(\vec{r}) = \psi(-\vec{r}) = P\psi(\vec{r})

  • 本征值：P=±1P = \pm 1（偶宇称 / 奇宇称）

宇称分类

类型 本征值 示例
偶宇称 (Even) +1 cos⁡(kx)\cos(kx), tt, mm, L⃗\vec{L}
奇宇称 (Odd) -1 sin⁡(kx)\sin(kx), r⃗\vec{r}, p⃗\vec{p}

内禀宇称 (Intrinsic Parity)

  • 基本粒子宇称约定：
    • 费米子：粒子与反粒子宇称相反（Pq=+1P_q = +1, Pqˉ=−1P_{\bar{q}} = -1）
    • 玻色子：粒子与反粒子宇称相同
  • 复合系统宇称：
    • 强子：Ptotal=Pintrinsic×PorbitalP_{\text{total}} = P_{\text{intrinsic}} \times P_{\text{orbital}}
    • 重子（3夸克）：PB=(+1)3×(−1)L=(−1)LP_B = (+1)^3 \times (-1)^L = (-1)^L
    • 介子（qqˉq\bar{q}）：PM=(+1)(−1)×(−1)L=−(−1)LP_M = (+1)(-1) \times (-1)^L = -(-1)^L

8. 核磁矩

电子磁矩

  • 玻尔磁子 μB\mu_B：μB=eℏ2me\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}
  • 轨道磁矩：μ⃗L=−μBℏL⃗\vec{\mu}_L = -\frac{\mu_B}{\hbar}\vec{L}
  • 自旋磁矩：μ⃗S=−gsμBℏS⃗,gs≈2.0023\vec{\mu}_S = -g_s\frac{\mu_B}{\hbar}\vec{S}, \quad g_s \approx 2.0023

核子磁矩

  • 核磁子 μN\mu_N：μN=eℏ2mp\mu_N = \frac{e\hbar}{2m_p}
  • 质子磁矩：μ⃗p=gpμNℏS⃗,gp=5.586\vec{\mu}_p = g_p\frac{\mu_N}{\hbar}\vec{S}, \quad g_p = 5.586
  • 中子磁矩：μ⃗n=gnμNℏS⃗,gn=−3.826\vec{\mu}_n = g_n\frac{\mu_N}{\hbar}\vec{S}, \quad g_n = -3.826
  • 反常值表明核子存在内部结构（夸克模型）

原子核磁矩

  • 总磁矩：μ⃗nucleus=∑i(μ⃗p,i+μ⃗n,i)\vec{\mu}_{\text{nucleus}} = \sum_i (\vec{\mu}_{p,i} + \vec{\mu}_{n,i})

9. 核电矩

电多极矩展开

  • 电势多极展开：

    ϕ(r⃗)=14πϵ0[Qr+p⃗⋅r^r2+12∑ijQijr^ir^jr3+⋯ ]\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q}{r} + \frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} + \frac{1}{2}\sum_{ij}Q_{ij}\frac{\hat{r}_i\hat{r}_j}{r^3} + \cdots \right]

    • QQ：电单极矩（核电荷 ZeZe）
    • p⃗\vec{p}：电偶极矩（对称核中 p=0p=0）
    • QijQ_{ij}：电四极矩张量

电四极矩

  • 定义：

    Q=1e∫ρ(r⃗)(3z2−r2)dVQ = \frac{1}{e} \int \rho(\vec{r})(3z^2 - r^2)dV

  • 椭球核模型（a=b≠ca=b \neq c）：

    Q=25Z(c2−a2)Q = \frac{2}{5} Z (c^2 - a^2)

  • 物理意义：
    • Q=0Q = 0：球形对称核（如 \ce{^{12}C}）
    • Q>0Q > 0：长椭球（c>ac > a，如 \ce{^{176}Lu}，Q=6.98Q=6.98）
    • Q<0Q < 0：扁椭球（c<ac < a）

附录：物理常数与单位

常用能量单位

单位 值 换算关系
eV 电子伏特 1 eV = 1.602×10−191.602\times10^{-19} J
keV 10310^3 eV
MeV 10610^6 eV 1 u = 931.494 MeV
GeV 10910^9 eV

常用长度单位

单位 值 换算关系
m 米
fm 飞米 (10−1510^{-15} m) r0r_0 = 1.2 fm
A∘\overset{\circ}{\text{A}} 埃 (10−1010^{-10} m) 原子直径 ~1 Å