7. 量子统计与热力学基础

7.1 玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）

凝聚条件

当 $T < T_c$ 且 $n > n^*$ 时：

$n_0 = n - n^* = n - \frac{g}{\lambda^3} \zeta(3/2)$

其中 $n_0$ 是基态占据数，满足：

宏观数量粒子占据 $k=0$ 的基态
产生玻色-爱因斯坦凝聚现象

压强特性

$P = \frac{g}{\lambda^3} k_B T f_{5/2}^+(1) \quad (T < T_c)$

关键性质：压强 $P$ 与密度 $n$ 无关，仅取决于温度 $T$

物理机制

基态粒子 ( $k=0$ ) 动量为零，对压强无贡献
只有激发态粒子 ( $k \neq 0$ ) 贡献压强
激发态粒子密度上限 $n^*$ 与总密度无关

7.2 玻色气体的热容量

能量表达式

$E = \frac{3}{2} PV = \frac{3}{2} V \frac{g}{\lambda^3} k_B T f_{5/2}^+(z)$

热容量计算

$C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_{V,N} = \frac{3}{2} V \frac{g}{\lambda^3} k_B \left[ \frac{5}{2} f_{5/2}^+(z) + f_{3/2}^+(z) \frac{\partial \ln z}{\partial \ln T} \right]$

温度依赖行为

温度区域	热容量行为
高温区 ( $T \gg T_c$ )	$C_V \approx \frac{3}{2} N k_B \left(1 + \frac{n\lambda^3}{2^{5/2}} + \cdots\right)$
临界区 ( $T \approx T_c$ )	$C_V$ 出现尖峰
低温区 ( $T \ll T_c$ )	$C_V \propto T^{3/2}$

7.3 热力学定律

第零定律（热平衡）

定义：若系统 $A$ 与 $B$ 平衡， $B$ 与 $C$ 平衡，则 $A$ 与 $C$ 平衡

温度定义：

$T = 273.16 \times \lim_{P \to 0} \frac{(PV)_{\text{系统}}}{(PV)_{\text{三相点}}}$

其中三相点为水-冰-汽平衡态

第一定律（能量守恒）

$\Delta E = \Delta Q + \Delta W$

其中：

$\Delta E$ ：内能变化
$\Delta Q$ ：吸收热量
$\Delta W$ ：外界做功

焦耳实验：理想气体自由膨胀

$\Delta E = 0 \quad (\text{绝热过程}) \Rightarrow E = E(T)$

7.4 理想气体性质

状态方程

$PV = N k_B T$

内能特性

$E = E(T) \quad \text{(与体积无关)}$

响应函数

热容量：

$C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_V, \quad C_P = C_V + N k_B$
等温压缩率：

$\kappa_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T = \frac{1}{P}$
磁化率：

$\chi_T = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial M}{\partial B} \right)_T$

7.5 热力学势关系

状态函数关联

$\begin{cases} f_{AC}(A_i; C_j) = 0 \\ f_{BC}(B_i; C_j) = 0 \end{cases} \Rightarrow \Theta_A(A_i) = \Theta_B(B_i)$

热力学势

势函数	定义	微分形式
内能 $E$	-	$dE = T dS - P dV$
亥姆霍兹自由能 $F$	$F = E - TS$	$dF = -S dT - P dV$
吉布斯自由能 $G$	$G = E - TS + PV$	$dG = -S dT + V dP$