6. 量子简并气体理论

6.1 巨正则系综的量子统计

粒子数密度

$n_g = \frac{g}{V} \sum_k \langle n_k \rangle = g \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon(k)} - y}$

其中：

$y = +1$ ：玻色子
$y = -1$ ：费米子
$\varepsilon(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$

能量密度

$\varepsilon_g = g \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \varepsilon(k) \frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon(k)} - y}$

压强关系

$\beta P_g = -\frac{g}{(2\pi)^3} \int d^3k \ln(1 - y z e^{-\beta \varepsilon(k)})$

6.2 费米简并气体

零温性质

费米动量：
$k_F = (3\pi^2 n_g)^{1/3}$
费米能：
$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}$
基态能量：
$\varepsilon_g(T=0) = \frac{3}{5} n_g \varepsilon_F$

低温展开（ $T \ll T_F$ ）

使用索末菲展开：

$f_m^-(z) = \frac{(\ln z)^m}{\Gamma(m+1)} \left[ 1 + \frac{\pi^2}{6} \frac{m(m-1)}{(\ln z)^2} + \cdots \right]$

主要结果：

化学势：
$\mu \approx \varepsilon_F \left[ 1 - \frac{\pi^2}{12} \left( \frac{k_B T}{\varepsilon_F} \right)^2 + \cdots \right]$
内能：
$\varepsilon_g = \frac{3}{5} n_g \varepsilon_F \left[ 1 + \frac{5\pi^2}{12} \left( \frac{k_B T}{\varepsilon_F} \right)^2 + \cdots \right]$
热容量：
$C_V = \frac{\pi^2}{2} N k_B \frac{k_B T}{\varepsilon_F} + \mathcal{O}(T^3)$

物理诠释

$T=0$ 时存在有限压强（量子压力）
热容量与温度线性相关： $C_V \propto T$
只有 $\sim T/T_F$ 比例的粒子参与热激发

6.3 玻色-爱因斯坦凝聚

玻色积分性质

$f_m^+(z) = \frac{1}{\Gamma(m)} \int_0^\infty \frac{x^{m-1} dx}{z^{-1} e^x - 1}$

收敛条件： $m > 1$ 且 $z \leq 1$
特殊值： $f_{3/2}^+(1) = \zeta(3/2) \approx 2.612$

临界现象

激发态粒子密度上限：
$n^* = \frac{g}{\lambda^3} \zeta(3/2)$
临界温度：
$T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n_g}{g \zeta(3/2)} \right)^{2/3}$
凝聚体密度：
$n_0 = n_g \left[ 1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^{3/2} \right] \quad (T < T_c)$

玻色-爱因斯坦凝聚特征

温度范围	行为
$T > T_c$	正常玻色气体
$T = T_c$	凝聚开始形成
$T < T_c$	宏观占据基态 ( $k=0$ )

6.4 积分计算技术

无量纲化处理

令 $x = \beta \varepsilon(k) = \beta \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ ，则：

$k^2 dk = \frac{(2m)^{3/2}}{2\sqrt{2} \hbar^3} \sqrt{x} dx$

玻色积分展开

$f_m^+(z) = \sum_{\alpha=1}^{\infty} \frac{z^\alpha}{\alpha^m}$

费米积分展开

$f_m^-(z) = \sum_{\alpha=1}^{\infty} (-1)^{\alpha-1} \frac{z^\alpha}{\alpha^m}$

6.5 量子经典对应

简并参数

$\eta = n_g \lambda^3$

区域	条件	行为
经典区	$\eta \ll 1$	满足经典统计
量子区	$\eta \sim 1$	显著量子效应
简并区	$\eta \gg 1$	强量子行为

状态方程对比

气体类型	状态方程
经典理想气体	$PV = Nk_B T$
费米气体	$P = \frac{2}{5} n_g \varepsilon_F [1 + \cdots]$
玻色气体	$P = \frac{\zeta(5/2)}{\zeta(3/2)} \frac{k_B T}{\lambda^3} [1 + \cdots]$