5. 量子理想气体理论

5.1 量子系综理论

$\hat{\rho}_{\text{micro}} = \frac{1}{\Omega(E)} \sum_n |E_n\rangle\langle E_n| \delta_{E_n,E}$

其中 $\Omega(E)$ 是能量 $E$ 的简并度

$\hat{\rho}_{\text{can}} = \frac{1}{Z} e^{-\beta \hat{H}} = \frac{1}{Z} \sum_n e^{-\beta E_n} |E_n\rangle\langle E_n|$

$\hat{\rho}_{\text{grand}} = \frac{1}{\Xi} e^{-\beta(\hat{H} - \mu \hat{N})}$

其中巨配分函数：

$\Xi(T, V, \mu) = \sum_{N=0}^{\infty} e^{\beta \mu N} Z(T, V, N)$

$\beta P_g = \frac{g}{\lambda^3} f_{5/2}^y(z)$

$n_g = \frac{g}{\lambda^3} f_{3/2}^y(z)$

$\varepsilon_g = \frac{g}{\lambda^3} \frac{3}{2} f_{5/2}^y(z) = \frac{3}{2} \beta P_g$

其中：

$f_m^y(z) = \frac{1}{\Gamma(m)} \int_0^{\infty} \frac{x^{m-1} dx}{z^{-1}e^x - y}$

展开形式：

$f_m^y(z) = \sum_{\alpha=1}^{\infty} y^{\alpha-1} \frac{z^{\alpha}}{\alpha^m}$

当 $z \to 0$ （低密度、高温）：

$f_m^y(z) \approx z + y \frac{z^2}{2^m} + \frac{z^3}{3^m} + y \frac{z^4}{4^m} + \cdots$

一级近似（经典理想气体）：

$\beta P_g \approx \frac{g}{\lambda^3} z = n_g$

$\Rightarrow PV = N k_B T$

二级修正：

$\beta P_g = n_g \left[ 1 + y \frac{n_g \lambda^3}{g 2^{5/2}} + \mathcal{O}(n_g^2) \right]$

量子统计	状态方程修正
费米子 ( $y=-1$ )	有效排斥
玻色子 ( $y=+1$ )	有效吸引

当 $n_g \lambda^3 \sim 1$ 时量子效应显著：

费米简并： $T \ll T_F = \frac{\hbar^2}{2mk_B}(3\pi^2 n_g)^{2/3}$
玻色-爱因斯坦凝聚： $T < T_c = \frac{2\pi\hbar^2}{mk_B} \left( \frac{n_g}{g\zeta(3/2)} \right)^{2/3}$

费米气体：

$E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n_g)^{2/3}$

$\varepsilon_g(T=0) = \frac{3}{5} E_F n_g$
玻色气体：

$n_g \lambda^3 = g\zeta(3/2) \quad (T=T_c)$

当 $T<T_c$ 时出现玻色-爱因斯坦凝聚

$f_m^y(z) = \frac{1}{\Gamma(m)} \int_0^{\infty} x^{m-1} \sum_{\alpha=1}^{\infty} (y z e^{-x})^{\alpha} dx$

引入无量纲变量 $x = \beta \hbar^2 k^2 / 2m$ ：

$\beta P_g = -\frac{g}{\lambda^3} \cdot \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty} dx\ x^{1/2} \ln(1 - y z e^{-x})$

函数	定义	性质
$f_m^+(z)$	玻色积分	$f_{3/2}^+(1) = \zeta(3/2) \approx 2.612$
$f_m^-(z)$	费米积分	$f_{3/2}^-(\infty) = \frac{3}{2} \zeta(3/2)$