2.7 守恒定律与流体动力学 (Conservation laws & Hydrodynamics)

平衡如何达到？(对应 Kardar 书中的问题 Q3)

弛豫阶段

  1. 阶段(I) [时间尺度 O(τc)O(\tau_c)]

    • 双粒子关联函数 f2(q⃗1,q⃗2,t)f_2(\vec{q}_1, \vec{q}_2, t) 解关联 (de-correlate)
    • 主要过程：在相互作用力程 dd 范围内的碰撞

  2. 阶段(II) [时间尺度 O(τx)O(\tau_x)]

    • 碰撞之间的平均自由时间尺度 (τx\tau_x)
    • 单粒子分布 f1(p⃗,x⃗,t)f_1(\vec{p},\vec{x},t) 达到局部平衡，使玻尔兹曼方程碰撞项消失
    • 引入局部数密度：n(x⃗,t)=∫d3p f1(p⃗,x⃗,t)n(\vec{x},t)=\int d^3p\, f_1(\vec{p},\vec{x},t)
    • 定义局部观测量平均值：

      ⟨O(x⃗,t)⟩=1n(x⃗,t)∫dp⃗ f1(p⃗,x⃗,t)⋅O(p⃗,x⃗,t)\langle O(\vec{x},t)\rangle = \frac{1}{n(\vec{x},t)} \int d\vec{p}\, f_1(\vec{p},\vec{x},t) \cdot O(\vec{p},\vec{x},t)

  3. 阶段(III) [时间尺度 O(τr)O(\tau_r)]

    • 通过扩散、粘性、热传导等输运过程达到全局平衡

守恒量的性质

定义：在二体碰撞中保持不变的量 XX 满足：

X(p⃗1,x⃗,t)+X(p⃗2,x⃗,t)=X(p⃗1′,x⃗,t)+X(p⃗2′,x⃗,t)X(\vec{p}_1,\vec{x},t) + X(\vec{p}_2,\vec{x},t) = X(\vec{p}_1',\vec{x},t) + X(\vec{p}_2',\vec{x},t)

关键性质：碰撞引起的 XX 净变化率为零：

JX(x⃗,t)=∫dp⃗ X(p⃗,x⃗,t)⋅(∂f1∂t)coll=0J_X(\vec{x},t) = \int d\vec{p} \, X(\vec{p},\vec{x},t) \cdot \left( \frac{\partial f_1}{\partial t} \right)_{\text{coll}} = 0

证明：
利用碰撞项表达式和 XX 的守恒性（类似 H 定理证明）：

JX=−∫dp⃗1dp⃗2dΩ[f1′f2′−f1f2][X(p⃗1)+X(p⃗2)]=−14∫dp⃗1dp⃗2dΩ(X1+X2−X1′−X2′)⋯=0\begin{aligned} J_X &= -\int d\vec{p}_1 d\vec{p}_2 d\Omega \left[ f_1'f_2' - f_1f_2 \right] \left[ X(\vec{p}_1) + X(\vec{p}_2) \right] \\ &= -\frac{1}{4} \int d\vec{p}_1 d\vec{p}_2 d\Omega \left( X_1 + X_2 - X_1' - X_2' \right) \cdots = 0 \end{aligned}

流体动力学方程

粒子数守恒 (X=1X=1)

∂n∂t+∇⋅(nu⃗)=0\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n \vec{u}) = 0

其中 u⃗(x⃗,t)=⟨v⃗⟩\vec{u}(\vec{x},t) = \langle \vec{v} \rangle 为局部流速

动量守恒 (X=pαX = p_\alpha)

∂∂t(mnuα)+∂∂xβ(mnuαuβ+Pαβ)=nFα\frac{\partial}{\partial t}(m n u_\alpha) + \frac{\partial}{\partial x_\beta}(m n u_\alpha u_\beta + P_{\alpha\beta}) = n F_\alpha

其中压强张量 Pαβ≡mn⟨cαcβ⟩P_{\alpha\beta} \equiv m n \langle c_\alpha c_\beta \rangle，cα=vα−uαc_\alpha = v_\alpha - u_\alpha 为随机速度

能量守恒 (X=12mc2X = \frac{1}{2}mc^2)

定义单位质量内能 ε=⟨12mc2⟩\varepsilon = \langle \frac{1}{2}mc^2 \rangle，可得：

∂∂t(nε)+∇⋅(nεu⃗+h⃗)+Pαβ∂uβ∂xα=0\frac{\partial}{\partial t}(n\varepsilon) + \nabla \cdot (n\varepsilon \vec{u} + \vec{h}) + P_{\alpha\beta} \frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha} = 0

其中：

  • 热流 h⃗≡nm2⟨c⃗ c2⟩\vec{h} \equiv \frac{nm}{2} \langle \vec{c} \, c^2 \rangle
  • 应变率张量 Wαβ≡12(∂uα∂xβ+∂uβ∂xα)W_{\alpha\beta} \equiv \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\beta} + \frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha} \right)

注：求解流体方程需本构关系（PαβP_{\alpha\beta}, h⃗\vec{h} 的表达式），可通过 Chapman-Enskog 展开近似求解（参考 Kardar 书 P82-P87）

3.1 统计力学基础 (General aspects)

基本概念

  • 宏观态 (M)：对应多个微观态 μ\mu
  • 系综：宏观态 MM 的概率分布 PM(μ)P_M(\mu)
  • 平衡统计核心问题：确定平衡态 PM(μ)P_M(\mu)（不关心动力学演化）

刘维尔定理的启示

对平衡态系统：

∂f∂t=−{f,H}⇒{H,f}=0\frac{\partial f}{\partial t} = -\{f, H\} \Rightarrow \{H, f\} = 0

若 f=feq(H)f = f_{eq}(H)，则 ff 在等能面上为常数

3.2 微正则系综 (Microcanonical ensemble)

基本定义

描述绝热孤立系统（无热交换，可做绝热功）：

P(E,x⃗)(μ)=1Ω(E,x⃗)forH(μ)=EP_{(E,\vec{x})}(\mu) = \frac{1}{\Omega(E,\vec{x})} \quad \text{for} \quad H(\mu) = E

其中 Ω(E,x⃗)\Omega(E,\vec{x}) 为相空间能量曲面 H(μ)=EH(\mu)=E 的测度

熵的定义

S(E,x⃗)=kBln⁡Ω(E,x⃗)S(E,\vec{x}) = k_B \ln \Omega(E,\vec{x})

在热力学极限下（N→∞N\to\infty）：

  • Ω∼eN\Omega \sim e^N → SS 为广延量
  • 不同系综等价

热力学定律推导

第零定律（热平衡）

两子系统热接触（总能量 E=E1+E2E=E_1+E_2 固定）：

Ω(E)=∫dE1 Ω1(E1)Ω2(E−E1)\Omega(E) = \int dE_1 \, \Omega_1(E_1) \Omega_2(E-E_1)

熵表达：

Ω(E)=∫dE1 exp⁡(S1(E1)+S2(E−E1)kB)\Omega(E) = \int dE_1 \, \exp\left( \frac{S_1(E_1) + S_2(E-E_1)}{k_B} \right)

鞍点近似给出平衡条件：

∂S1∂E1∣E1∗=∂S2∂E2∣E2∗定义1T≡∂S∂E∣x⃗\left. \frac{\partial S_1}{\partial E_1} \right|_{E_1^*} = \left. \frac{\partial S_2}{\partial E_2} \right|_{E_2^*} \quad \text{定义} \quad \frac{1}{T} \equiv \left. \frac{\partial S}{\partial E} \right|_{\vec{x}}

第一定律（能量守恒）

系统状态变化（E→E+dEE\to E+dE, x⃗→x⃗+dx⃗\vec{x}\to\vec{x}+d\vec{x}）：

dS=∂S∂E∣x⃗dE+∂S∂x⃗∣E⋅dx⃗=0dS = \left. \frac{\partial S}{\partial E} \right|_{\vec{x}} dE + \left. \frac{\partial S}{\partial \vec{x}} \right|_E \cdot d\vec{x} = 0

定义广义力 Jα≡−T∂S∂xα∣EJ_\alpha \equiv -T \left. \frac{\partial S}{\partial x_\alpha} \right|_E，得：

dE=J⃗⋅dx⃗(绝热过程)dE = \vec{J} \cdot d\vec{x} \quad \text{(绝热过程)}

推广到一般过程：dE=δQ−δWdE = \delta Q - \delta W

第二定律（熵增原理）

从 Ω(E)\Omega(E) 的鞍点结构得：

Ω1(E1∗)Ω2(E2∗)≥Ω1(E1)Ω2(E2)\Omega_1(E_1^*)\Omega_2(E_2^*) \geq \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2)

对热接触系统：

δS=(1T1−1T2)δE1≥0\delta S = \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \delta E_1 \geq 0

要求热量从高温流向低温

热稳定性条件

鞍点为极大值的条件：

∂2S1∂E12∣x⃗1+∂2S2∂E22∣x⃗2≤0\left. \frac{\partial^2 S_1}{\partial E_1^2} \right|_{\vec{x}_1} + \left. \frac{\partial^2 S_2}{\partial E_2^2} \right|_{\vec{x}_2} \leq 0

对相同子系统 (S1=S2S_1=S_2)，要求：

∂2S∂E2∣x⃗≤0⇒CV=∂E∂T∣V≥0\left. \frac{\partial^2 S}{\partial E^2} \right|_{\vec{x}} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad C_V = \left. \frac{\partial E}{\partial T} \right|_V \geq 0